至極の一問

ヒントは「素因数分解」にあり。整数問題攻略の大原則を学ぼう!

「整数問題」って何!?

受験生のみなさんは「整数問題」って聞いたことありますか?

「整数問題」とは、「四則演算を駆使して、等式の『整数解 』を求める」問題です。

堀川・西京・嵯峨野・桃山の専門学科入試では、この「整数問題」が毎年、4校のうち2,3校で出題されるほど頻出分野です。 受験生にとっては馴染みの薄い問題ですが、実は解くための「大原則」を学ぶことが攻略へのヒントになります。

今回は、数ある「大原則」の中から、シンプルなものを1つご紹介します。

整数問題「至極の一問」

(2016年専門学科入試から)

今回解きたいのは、西京高校エンタープライジング科で2016年に出題された以下の問題。

整数問題

一体どこから手を付ければいいのでしょうか?

ヒントは「素因数分解」にあり!

整数問題を解く上で、必ず押さえておきたい「大原則」、その中でも、今回使うのは、

「素因数分解」

※素因数分解=整数を、素数だけの積の形で表すこと。 整数問題の大原則①はズバリ以下の通り。

#51_3

大きな数字とは、今回の問題では343です。とりあえず小さい素数から順に343を割っていき、割り切れる素数を探します。そして最終的に素数だけの積の形まで持っていくと、解答の糸口が見えてきます。

343を素因数分解すると、7×7×7となりますね。 ここで左辺の4m^2-n^2を因数分解すると、(2m+n)×(2m-n)となり、mもnも整数なので(2m+n)も(2m-n)も整数となります。要するに、「2つの整数の積」となりますね。 右辺の7×7×7を変形して「2つの整数の積」 にすると、1×343 か 7×49 の2通り。そのそれぞれと、左辺の(2m+n)×(2m-n) とを見比べて、2種類の連立方程式を立てれば答えを出すことができます。

「整数問題」を恐れない。「大原則」を使いこなせるようになろう!

いかがでしょうか? 「整数問題」の中には難問もありますが、そんなものは解けなくても大丈夫。 それよりも、標準レベルの問題を確実に得点することが大事で、標準レベルの問題こそ「大原則」を使いこなせば正確に解答できる問題が多いのです。

専門学科の数学に「整数問題」は頻出ですが、「大原則」をおさえるだけで驚くほど簡単に解ける問題も非常に多いです。 是非「整数問題」の「大原則」を早めに、マスターしましょう!

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当記事は、京都にある「堀川・西京・嵯峨野・桃山高校」専門学科入試専門塾のリングアカデミー講師陣が執筆しています。

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