受験コラム

【高3向け】今から解ける!京大数学にチャレンジ

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5問中1問は、今でも解ける

「京大の数学って難しそう…」

「今やっている勉強で京大数学が解けるようになるとは思えない…」

このように考えている人は非常に多いのではないでしょうか?

僕がまだ高校生だった頃、友達と一緒に先生に「この問題、京大のやで」と言われ、「そんなんできるわけないやん!!(怒)」と強烈な拒絶反応を起こしてしまった覚えがあります(笑)

この記事を読んでいるあなたはこんなことを考えたことはありませんか?

・京大数学って難しいものだと思う!

・京大数学を解くためには特別な知識や手法が必要だと思う!

・まだまだ京大数学なんて解けやしない!

はっきりいいます!これらの認識は間違いです! 今回は今からでも解ける京大数学の問題を通じて、新高3のみんなに今から知っておきたい京大数学のカラクリを伝授します!

なにはともあれ、解いてみよう!

まずは次の問題を解いてみてください。

四面体OABCが次の条件を満たすならば、それは正四面体であることを示せ。 【条件】:頂点A,B,Cからそれぞれの対面を含む平面へおろした垂線は対面の外心を通る。 ただし、四面体のある頂点の対面とは、その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう。 (2016 京大理系数学 第三問)

「ぜんぜんわからん…」 という人は、この下のヒントを読みながらトライしてみましょう!

解き方のヒント

なかなか難しいぞ!という人のために、少しずつヒントを出していきます。 解き方が思いついた時点で、ヒントをみないで自力でやってみましょう!

ヒント①

まず、点Aから△OBCに垂線をおろしたときの図を作図してみましょう。 この垂線の足を点Hとすると、【条件】より点Hは△OBCの外心になります。 ということは、OH=BH=CHということですね!

ヒント②

OH=BH=CHということがわかりました。 もちろん直線AHは平面OBCに垂直なので、∠AHO=∠AHB=∠AHC=90°ですから、 △AHO≡△AHB≡△AHCが成り立ちます!

ヒント③

△AHA≡△AHB≡△AHCということは、合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、AO=AB=ACですね。 同じことを点B,Cから下ろした垂線について考えてみると…?

京大数学を倒すために

さて、今回の問題どうだったでしょうか? ヒントなしに解けた!という人も、ヒント見ながらでもなかなか難しかった…という人もいるでしょう。

でも、こう振り返ってみてください。

特別な知識がないと解けない問題でしたか? ぜんぜんそんなことないな、と思いませんでしたか?

実は、数学に限らず京大入試のほとんどの問題は、 「特別な知識を必要としない」 という特徴があるのです!

今回やってもらった問題を解くに当たって必要な知識は、

◯外心の定義

◯三平方の定理

◯直角三角形の合同条件

だけです。 これらの知識は中学数学でならう初歩的なものに過ぎませんね。この他のほとんどの京大数学の問題も、

「パップスギュルダンの定理を知っていないと解きようがない問題がある」

「マクローリン展開を用いないと解けない三角関数の不定形極限が出る」

なーんてことはまったくありませんよ!

京大数学はどの大学の入試問題と比べても、明らかに異質です。 他の大学のように小問ごとにわかれていなかったり、計算問題であっても渡される解答用紙はほぼまっさらのぺら紙一枚であったり… だからこそ、「はやく難しい問題やらなきゃ…」と誤解している受験生が多いのかもしれません。

でも、新たに高校3年生となるみなさんが今やっておくべき心がけるべきことはたったひとつ!

「教科書の知識を万全にせよ!」

外心・内心・垂心の定義はすべて正しくいえますか? 二倍角・半角の公式はすぐに求められますか? 余弦定理、証明できますか?

ちょっと「教科書の知識怪しいところあるかも…」という人は、夏休みまでに教科書の総復習を終えることを目標にしましょう!教科書から京大受験は始まるのです! 今後も京大入試に必要な知識をこのまなべーとにガンガン載せていきます。 京大目指して一緒に頑張ろう!

この記事を書いたのはこんな人! 【工学部2回生Sさん】

京都大学工学部電気電子工学科在学中。

高1の初夏、片思い中の女の子が京大を目指すということを聞き、京大入試を決意するも高2の秋に無念の失恋。
悲しさをバネに猛勉強し、京大に合格。
小学生の頃から算数は大の苦手。高校の頃は二回連続でクラス最低点を取るなどさんざんな状態だったが「もっといい勉強方法はないか!」と模索し続け、高3になり成績は徐々に上昇、受験直前にはなんと数学が得点源に。
現在、大学では電気回路理論や数理解析にあわせ、哲学や文化人類学も勉強している。
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カテゴリー:受験コラム

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当記事は、京都にある個別指導塾のリジョイス講師陣が執筆しています。

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