５問中１問は、今でも解ける
「京大の数学って難しそう…」
「今やっている勉強で京大数学が解けるようになるとは思えない…」
このように考えている人は非常に多いのではないでしょうか？
この記事を読んでいるあなたはこんなことを考えたことはありませんか？
・京大数学って難しいものだと思う！
・京大数学を解くためには特別な知識や手法が必要だと思う！
・まだまだ京大数学なんて解けやしない！
はっきりいいます！これらの認識は間違いです！ 今回は今からでも解ける京大数学の問題を通じて、高３のみなさんに今から知っておきたい京大数学のカラクリを伝授します！
なにはともあれ、解いてみよう！
まずは次の問題を解いてみてください。
四面体OABCが次の条件を満たすならば、それは正四面体であることを示せ。 【条件】：頂点A,B,Cからそれぞれの対面を含む平面へおろした垂線は対面の外心を通る。 ただし、四面体のある頂点の対面とは、その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう。 （2016 京大理系数学 第三問）
「ぜんぜんわからん…」 という人は、この下のヒントを読みながらトライしてみましょう！
解き方のヒント
なかなか難しいぞ！という人のために、少しずつヒントを出していきます。 解き方が思いついた時点で、ヒントをみないで自力でやってみましょう！
ヒント①
まず、点Aから△OBCに垂線をおろしたときの図を作図してみましょう。 この垂線の足を点Hとすると、【条件】より点Hは△OBCの外心になります。 ということは、OH=BH=CHということですね！
ヒント②
OH=BH=CHということがわかりました。 もちろん直線AHは平面OBCに垂直なので、∠AHO=∠AHB＝∠AHC=90°ですから、 △AHO≡△AHB≡△AHCが成り立ちます！
ヒント③
△AHA≡△AHB≡△AHCということは、合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、AO=AB=ACですね。 同じことを点B,Cから下ろした垂線について考えてみると…？
京大数学を倒すために
さて、今回の問題どうだったでしょうか？ ヒントなしに解けた！という人も、ヒント見ながらでもなかなか難しかった…という人もいるでしょう。
でも、こう振り返ってみてください。
特別な知識がないと解けない問題でしたか？ ぜんぜんそんなことないな、と思いませんでしたか？
実は、数学に限らず京大入試のほとんどの問題は、 「特別な知識を必要としない」 という特徴があるのです！
今回やってもらった問題を解くに当たって必要な知識は、
◯外心の定義
◯三平方の定理
◯直角三角形の合同条件
だけです。 これらの知識は中学数学でならう初歩的なものに過ぎませんね。この他のほとんどの京大数学の問題も、
「パップスギュルダンの定理を知っていないと解きようがない問題がある」
「マクローリン展開を用いないと解けない三角関数の不定形極限が出る」
なーんてことはまったくありませんよ！
京大数学はどの大学の入試問題と比べても、明らかに異質です。 他の大学のように小問ごとにわかれていなかったり、計算問題であっても渡される解答用紙はほぼまっさらのぺら紙一枚であったり…
だからこそ、「はやく難しい問題やらなきゃ…」と誤解している受験生が多いのかもしれません。
でも、新たに高校３年生となるみなさんが今やっておくべき心がけるべきことはたったひとつ！
「教科書の知識を万全にせよ！」
外心・内心・垂心の定義はすべて正しくいえますか？ 二倍角・半角の公式はすぐに求められますか？ 余弦定理、証明できますか？
ちょっと「教科書の知識怪しいところあるかも…」という人は、夏休みまでに教科書の総復習を終えることを目標にしましょう！
教科書から京大受験は始まるのです！ 京大目指して一緒に頑張ろう！