～素数に関する整数問題～難易度★★
問題
$2^p+3^q=5^r$となる素数$(p, q, r)$の組は存在するか．存在するならば，それをすべて求め，存在しないならば，そのことを証明せよ．
素数に関する問題です。入試標準レベルの整数問題がしっかり理解できているなら，できてほしい問題です。
まずは，実際に解いてみて，できなかったら解説を読んで，理解できなかったところを重点的に復習しましょう。
解答
$2^p+3^q=5^r$を満たす素数$(p, q, r)$の組が存在すると仮定して矛盾を導く。
$p$は素数であるから$2$以上なので，$2^p$は$4$の倍数であり，
$$(-1)^q≡1 \mod4$$
となる。
したがって，$q$は偶数であり，また素数であったから，$q=2$となる。
よって，$2^p+9=5^r$であり，
$$2^p≡1 \mod5$$
となる。
ここで，$5$を法として，$2≡2，2^2≡4，2^3≡3，2^4≡1，2^5≡2$から，
$$2^p≡1 \mod5$$
を満たすような$p$は$4$の倍数であることが分かり，$p$が素数であることに矛盾する。
以上より，$2^p+3^q=5^r$を満たす素数$(p, q, r)$の組は存在しない。■
思考とプロセス
整数問題を解くときは，大きく3つの原則があります。
整数問題の3つの原則
①．積の形に分解する。（$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$の式を使うことが多い気がします。）
②．何かで割った余りに着目する。（$3$か$4$で割った余りに注目することが多いですね。）
③．範囲を絞って考える。
基本的にはこの3つの原則があり，これで無理だったら別の方法を考えましょう。
それでは実験していきます。$p, q, r$がすべて素数であることに注意してください。
$(p, q)=(2, 2)$のときは，$2^2+3^2=13$となり，これではだめですね。
$(p, q)=(2, 3)$のときは，$2^2+3^3=31$となり，これもだめですね。
$(p, q)=(3, 3)$のときは，$2^3+3^3=35$となり，これもだめですね。
なかなか見つかりませんね。
では，3つの原則について考えてみましょう。
積の形には......できませんね。
では，余りに着目してみましょう。実はこの方法がうまくいきます。
$\mod3$で考えてみると。
$$2^p≡(-1)^p$$
$$3^q≡0$$
$$5^r≡(-1)^r$$
となるので，$(-1)^p≡(-1)^r$となり，$p$と$r$の偶奇は一致することが分かります。
しかし，これだけでは何もわかりません。
$\mod4$で考えてみると，$p$は$2$以上なので，
$$2^p≡0$$
$$3^q≡(-1)^q$$
$$5^r≡1$$
したがって，$(-1)^q≡1$となるので，$q$は偶数です。さらに，$q$は偶数なので$q=2$ということが分かります。
この情報はかなり大きいですね。
$2^p+9=5^r$ということが分かりました。
さらに$\mod5$で考えてみると，$2^p≡1$となるので，$p$は$4$の倍数であることが分かり，$p$が素数であることに反します。（$5$を法として，$2≡2，2^2≡4，2^3≡3，2^4≡1，2^5≡2$から，分かりますね。）
これで，問題を満たす$(p, q, r)$の組は存在しないことが分かります。
ここから，解答を書いていきましょう。